Турист плыл в лодке против течения

Обновлено: 18.05.2024

Эти задачи необходимо начинать решать уже в восьмом классе. Предлагаемые примеры задач собраны из разных источников и предназначены для школьников и педагогов, любящих решать задачи вообще, и для использования на уроках и факультативных занятиях.

Помогите решить пожалуйста с объяснением

Турист проплыл на моторной лодке 10 км против течения и вернулся назад на плоту. Найдите скорость течения реки, если на плоту турист плыл на 1 час больше, чем лодкой, а собственная скорость лодки составляет 15 км\ч

Голосование за лучший ответ

grsdf sdfaseУченик (225) 4 года назад

Я же попросил, с обьяснением

x - течение реки
10/x-10/(15-x)=1
10*(15-x)-10x=x(15-x)
150-10x-10x=15x-x^2
x^2-15x-20x+150=0
x^2-35x+150=0
D=1225-4*150=625=25^2
x1=(35+25)/2=30
x2=(35-25)/2=5

помогите пожалуйста решить задачу по алгебре ЗАДАЧА В ОПИСАНИИ

турист плыл 5 часов на плоту ПО ТЕЧЕНИЮ реки и 1.5 часа на моторной лодке против течения. Скорость лодки в стоячей воде равна 24 км/час. найдите скорость течения, если турист проплыл на 23 км больше, чем по течению

Дополнен 5 лет назад

В ПОСЛЕДНЕМ ПРЕДЛОЖЕНИИ ОН ПРОПЛЫЛ ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ НА 23 КМ БОЛЬШЕ

Голосование за лучший ответ

x км/час - скорость течения реки.
х*5=5х км - длина пути туриста на плоту.
(24-х) км/час - скорость лодки против течения.
(24-х) *1,5 км - длина пути туриста на моторной лодке.
В задаче сказано, что длина пути против течения на 23 км больше, чем длина пути по течению. Отсюда можно составить равенство:
(24-х) *1,5-5х=23; 36-1,5х-5х=23; 6,5х=13; х=13/6,5=2 км/час.

Задачи для самостоятельного решения с ответами

Задача 1.

Расстояние между станциями А и В равно 360 км. В одно и то же время из А и В навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд, отправившийся из А, прибывает на станцию В не ранее чем через 5 часов. Если бы его скорость была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд раньше, чем через два часа после своего выхода из А. Скорость какого поезда больше?

Ответ. Скорость поезда, вышедшего из В, больше.

Задача 2.

Из пункта А в пункт С в 9 часов утра отправился скорый поезд. В это же время из пункта В, расположенного между пунктами А и С, выходят два пассажирских поезда, первый из которых следует в пункт А, а второй – в пункт С. Причем, скорости пассажирских поездов равны. Скорый поезд встречает первый пассажирский поезд не позже чем через 3 часа после его отправления, потом приходит в пункт В не ранее 14 часов того же дня и, наконец, прибывает в пункт С одновременно с первым пассажирским поездом. Найти время прибытия в пункт А первого пассажирского поезда.

Ответ. 16 ч 30 мин.

Задача 3.

Из А в В по течению реки плывет плот. Одновременно с тем, когда плот начал путь из А в В, из В в А навстречу ему поплыла лодка, которая встречает плот не ранее чем через 2 ч и затем прибывает в А, затратив на весь путь менее 3 ч 20 мин. Успеет ли плот преодолеть путь из А в В за 5 ч, если расстояние между А и В равно 20 км?

Ответ. Не успеет.

Задача 4.

Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. сколько построено пятиэтажных домов и сколько девятиэтажных?

Ответ. 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных.

Задача 5.

Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно моторная лодка проходит не менее чем за 10 ч. если бы собственная скорость моторной лодки увеличилась на 40% , то тот же путь (т.е. путь от А до В и обратно) занял бы у лодки не более 7 ч. Найти время, за которое моторная лодка проходит путь от А до В в случае, когда ее собственная скорость не увеличена.

Задача 6.

В 9 ч утра из пункта А выезжает велосипедист, который едет до пункта В. Через 2 ч после выезда велосипедиста из А в В выезжает автомобилист, который догоняет велосипедиста не позже 12 ч дня. Продолжая движение, автомобилист прибывает в пункт В, мгновенно поворачивает и едет из В в А. На этом пути автомобилист встречает велосипедиста и потом прибывает в пункт А в 17 ч того же дня. Найти время прибытия велосипедиста в пункт В , если известно, что между двумя встречами велосипедиста и автомобилиста прошло не более 3 ч.

Ответ. 18 ч.

Задача 7.

От пристани А вниз по реке, скорость течения которой равна V км/ч, отходит плот. Через час вслед за ним выходит катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч. догнав плот, катер возвращается обратно. Определить все те значения V ,при которых к моменту возвращения катера в А плот проходит более 15 км.

Ответ. 5 < V< 10

Задача 8.

Расстояние между А и В равно7 км. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу и встретились раньше чем через 1 час, если бы первый шел вдвое быстрее, чем он шел на самом деле, а скорость движения второго была бы на 2 км/ч больше его фактической скорости, то к моменту встречи второй прошел бы большую часть пути. Скорость какого пешехода больше?

Ответ. Скорость второго пешехода больше.

Задача 9.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 120 км, одновременно друг другу навстречу выезжают два велосипедиста и встречаются позже, чем через 5 ч после выезда. На следующий день они выезжают навстречу одновременно в одну и ту же сторону из пунктов С и D, расстояние между которыми 36 км, причем велосипедист, едущий впереди, движется со скоростью, на 6 км/ч больше, чем накануне, а велосипедист, едущий сзади, движется с той же скоростью, что и накануне. Хватит ли второму велосипедисту двух часов, чтобы догнать первого?

Ответ. Не хватит.

Задача 10.

Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с постоянной скоростью V км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все те значения V, при которых автомобиль возвращается в город А позже, чем автобус приходит в город В.

Ответ. 30 < V < 33,6

Турист проплыл на моторной лодке 25 км против течения реки и вернулся назад на плоту.Найдите скорость течения реки,если

Обозначим скорость течения реки х км/ч. Запишем время движения туриста в обоих направлениях:
25 / (12 – х) – время против течения;
25 / х – время по течению.
Согласно условию задачи время движения по течению больше на 10 часов. Составляем уравнение:
25/х – 25/(12 – х) = 10
300 -25х – 25х = 120х – 10x²
10x² - 170x + 300 = 0
x² - 17x + 30 = 0
По теореме Виета корни уравнения равны:
х1 = 15, х2 = 2.
Скорость течения реки не может быть 15 км/ч, значит, подходит только второй корень уравнения.
Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

Задачи с решением

Задача 1.

Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до А против ветра, причем скорость ветра не менялась. В другой раз самолет совершил рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь полет ушло меньше времени?

Решение.

Ответ. В безветренную погоду.

Задача 2.

Два туриста вышли из пункта А в пункт В. Первый турист половину затраченного времени от начала движения шел со скоростью V1, затем со скоростью V2. Второй же турист первую половину пути шел со скоростью V1, а вторую половину со скоростью V2. Кто из них затратил меньше времени на прохождение пути от А до В?

Решение.

Ответ. Первый турист затратил времени меньше.

Задача 3.

Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 часа. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость в стоячей воде 18 км/ч?

Решение.

Ответ. Не больше чем на 26 и две третьих км.

Задача 4.

На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание он получал 5 очков, за каждый промах с него снимали одно очко. Успешным считалось выступление, при котором стрелок получал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен попасть в мишень, чтобы его выступление было сочтено успешным?

Решение.

Ответ. 7, 8, 9 или 10 раз.

Задача 5.

Со склада вывозят железные болванки массой по 500 кг и медные массой 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 тонн, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?

Решение.

Ответ. Не более 5 болванок.

Задача 6.

Турист на байдарке проплыл по течению реки 6 км, тут же повернул обратно и проплыл против течения реки 4 км. С какой собственной скоростью должен плыть турист, чтобы на все путешествие затратить не более часа, если скорость реки равна 2 км/ч?

Решение.

Ответ. Не менее 10 км/ч

Задача 7.

Около дома посажены липы и березы, причем общее их количество более 14. если увеличить вдвое количество лип, а количество берез на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количество берез, не меняя количество лип, то лип все равно будет больше. Сколько лип и сколько берез было посажено?

Решение.

Ответ. 11 лип, 5 берез.

Задача 8.

Группа студентов решила купить цветок ценой от 170 до 195 рублей. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 руб. больше. Сколько стоил цветок?

Решение.

Ответ. 180 рублей.

Задача 9.

Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем поднимается против течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равна 1 км/ч. В каких пределах должна быть собственная скорость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов.

Решение.

Ответ:

Задача 10.

Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение.

Ответ. 12 листов.

Задача 11.

Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В со скоростью течения реки, проходит от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость катера увеличилась на 40%, то тот же путь (от А до В и обратно) занял бы у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь от В в А, когда его собственная скорость не увеличена.

Решение.

Ответ: 6 часов.

Алгебре 7 класс Мерзляк. Номер №111

Турист плыл 5 ч на плоту по течению реки и 1,5 ч на моторной лодке против течения. Скорость лодки в стоячей воде равна 24 км/ч. Найдите скорость течения, если против течения турист проплыл на 23 км больше, чем по течению.

Решение

Пусть x км/ч скорость течения реки, тогда:
24 − x км/ч скорость лодки против течения;
5 x км турист проплыл на плоту;
1,5 ( 24 − x) = 36 − 1,5 x км турист проплыл на лодке;
Составим уравнение:
36 − 1,5 x − 5 x = 23
− 6,5 x = 23 − 36
− 6,5 x = − 13
x = − 13 : − 6,5
x = 2 км/ч скорость течения реки.

Комментарии

Оставлен Гость Вс, 11/28/2010 - 09:27

он не подобрал бутылку через 20 мин а заметил ее пропажу через 20 мин после моста, по условиям задачи

Оставлен Grawity Вс, 11/28/2010 - 23:28

Ответ, полученный в задаче не точный, он справедлив только, если скорость течения намного меньше скорости лодки в стоячей воде. Аналогия с озером и последующая логика основана как раз на том, что река спокойная. Точный ответ должен зависеть от скорости лодки.

Оставлен Grawity Пнд, 11/29/2010 - 06:14

Прошу прощения, был не прав, действительно, ответ получен без приближений, логика безупречна

Оставлен Гость Ср, 12/01/2010 - 00:26

Что за чушь! Мы решаем задачу по математике, а не рассчитываем реальную ситуацию. Давайте тогда учитывать ветер, землятрясение в Гондурасе. А вообще это стандартная задача по физике, есть во всех задачниках для средней школы. Учиться надо.

Оставлен Гость Пнд, 11/29/2010 - 17:11

путем решения уравнений согласно исходных данных удалось определить лишь то, что скорость течения составляет примерно три четверти от скорости лодки(
но согласен с логикой решения автора)

Оставлен Grawity Пнд, 11/29/2010 - 20:33

L/U=T+((T(V-U)+L)/V+U), откуда находим LV/U=2VT соответсвенно U=L/2T=1.5 мили/час,
где V=скорость лодки, U=скорость течения, L=1 миля, T=20 мин,

Скорость лодки сокращается и не входит в ответ к задаче

Оставлен Гость Ср, 12/01/2010 - 00:29

Надо сказать, что задача интересная по логике мышления, но надумана. Как это можно заметить, что 20 минут назад я что-то потерял? Просто потерял. А иначе должен быть свидетель.

Оставлен Гость Пнд, 12/06/2010 - 10:25

Ура, я правильно решила, только не стала минуты в мили переводить в мили в час)

Оставлен Евгений Пнд, 12/06/2010 - 19:28

Чушь - у вас условие и ответ разные! Тем более нельзя найти скорость исходя из размерности: дано нам только время, скорость найти невозможно, автору надо бы поучиться в школе еще раз

Оставлен kleen Чт, 09/15/2011 - 15:17

1 миля - это расстояние
20 минут (дважды) - это скорость.

Оставлен Гость Ср, 12/08/2010 - 08:17

Полностью согласен с Grawity - решил точно также, правдо не стал разными буквами обозначать скорость лодки и скорость течения (обозначил, как индексы 1 и 2 для переменной V) - мне просто так как-то нагляднее.При нормальном составлении уравнении не надо никаких систем координат вводить, просто все решается математически.Составил уравнение и быстро его решил.Тут только был единственный нюанс в том, что надо было понимать, что бутылка(которая плыла по течению с того момента как упала)и лодочник, с того момента как она под мостом у него выпала и до момента ее подбора были в воде одно и тоже время, и на основании этого приравнять два уравнения выразив их через время.
А из физики надо было знать только элементарное уравнение S=V/T

Оставлен Гость Ср, 12/08/2010 - 08:22

Извиняюсь =)))))).Опечатался S=V*T =))), а нашем случае T=S/V (это хотел сначала написать) =)

Оставлен слава Пт, 12/10/2010 - 15:24

ребят реально скорость лодки можно определить скорость течения нет,скороть лодки 3мили в час.

Оставлен слава Пт, 12/10/2010 - 15:31

ладно ответ автора правильный))

Оставлен саша Втр, 12/14/2010 - 08:47

а какое решение задачи??

Оставлен Гость Пт, 12/17/2010 - 22:00

нет, совершенно неправильный ответ.
Если рассматривать задачу в системе координат, движущейся вместе с водой в реке, и принять точку потери бутылки за ноль, то имеем следующее:
за 20 минут после потери лодочник переместился на расстояние = скорость лодочника*20 минут
при этом бутылка вместе с водой и прочим сместилась на -(скорость течения * 20минут)
Через 20 минут после обнаружения пропажи лодочник попадет в точку 0 (где потерял бутылку), а не в точку текущего нахождения бутылки.
В точку нахождения бутылки он попадет через время = 20 минут + 20 минут + 1миля*скорость течения после потери бутылки
В уравнении 2 неизвестных, следовательно оно неразрешимо.

Оставлен Гость Сб, 12/18/2010 - 23:46

Решение автора мне понравилось, очень простое, но я не стал искать легких путей и пошел трудным способом =), как учили в школе.
V1 - скорость лодочника (для удобства будем измерять в миля/минута);
V2 - скорость течения;
T - время которое плыл лодочник по течению;
Бутылка от моста проплыла 1милю со скоростью V2 за время 20+T, отсюда T=1/V2-20;
Теперь проанализируем лодочника: он плыл расстояние 20*(V1-V2) против течения, а все расстояние которое он проплыл от момента обнаружения пропажи до "встречи" бутылки получается:
20*(V1-V2)+1
С другой стороны это же расстояние равно T*(V1+V2), значение T определенно выше. Приравняв эти два выражения, и приведя к общему знаменателю получаем:

20*V1*V2 - 20*V2^2 + V2 = V1 - 20*V1*V2 + V2 - 20*V2^2;
-20*V2^2 и V2 сокращаются и остается:

40*V1*V2=V1;
V1 опять же сокращается и остается что:
V2 = 1/40 (мили/мин).

Оставлен николай Ср, 12/22/2010 - 09:21

скорость лодки 2,5 скорость течения 1,5 миль/час А если скорсть лодки 5 то3 А если скорость10 то 6 итд итп
но для яхтсмена это конечно уровень)))

Оставлен Гость Сб, 02/12/2011 - 18:34

почти сломал мозг, скажите пожалуйста а скорость лодки в этой задаче вычисляется точно и какая она?

Оставлен Томогачи Чт, 01/19/2012 - 10:22

Скорость лодки здесь не вычисляется. Более того, она может быть любой. хоть миллионы миль в час.

Оставлен Томогачи Чт, 01/19/2012 - 10:19

Не совсем понятно описано решение, но если брать за основу использование реки за систему отсчета.

Получаем:
1) бутылка никуда не плыла, а спокойно стояла на месте - удобно
2) лодка, что туда - что обратно, плыла с одной и той же скоростью - удобно.
3) мост двигался вперед - непонятно, но всякое бывает :) причем со скоростью течения Vт

а) Тогда, пока гребец плыл вперед время t1, мост "проехал" Vм*t1.
б) Спохватившись об опохмеле, гребец поплыл назад - напомню, скорость туды и скорость сюды у него одинаковые. А бутылка вообще стоит на месте. Так что он прошел один и тот же путь. С одной и той же скоростью. Интуиция говорит, что и за одно и то же время. (т.е. из Vл*t1 = Vл*t2 => t1=t2).
в) мост же за это время продвинулся еще на Vм*t2. Но, так как t2=t1, то всего мост "прополз" Vм*2*t1 или одну милю от бутылки.
г)вернувшись к береговой неподвижной системе отсчета, понимаем, что скорость течения Vтеч это есть скорость моста в подвижной системе отсчета (Vм)

Тогда Vтеч*2*t1 = 1, откуда
Vтеч = 1 / (2*t1),
откуда Vтеч = 1 / (2*1/3) = 3/2 = 1.5 миль/ч

Оставлен Гость Чт, 02/16/2012 - 09:24

Вопрос нужно было бы поставить более конкретно: какова скорость течения?

Оставлен Hamo Пнд, 06/27/2016 - 16:56

привет всем,
Sпротив=(Vлод.-Vтеч.)* t1,
Sпо теч.=(Vлод.+Vтеч.)* t2,
Sпо теч.-Sпротив=Vтеч.*t1+Vтеч.*t2,
(Vлод.+Vтеч.)* t2-(Vлод.-Vтеч.)*t1=
=Vтеч.*t1+Vтеч.*t2,

Vлод.* t2-Vлод.*t1+Vтеч.* t2+Vтеч.*t1=
=Vтеч.*t1+Vтеч.*t2,
Vлод.*(t2-t1)=00000. t2==t1,
такие задачи решают в жизни 1 раз,остальные много разы используют,
задаче написана. Через 20 минут человек заметил, что бутылка исчезла,,
какая разница ,это отвлекающий маневр,
формулируем так,

этап №1,
под мостом бросил бутылку ,продолжал грести против течения, Через 20 минут,разворот(
время разворот==0 ),
продолжал грести по течению,
20 минут против+20 минут по течению==40 минут,
за 40 минут 1 мила,за час будет 1,5 мила,
и вообще то,t2==t1 и учетом ,что Vлод. не имеет значение,
большой вывод ,представим ,что Vлод=0,
мы всегда будем рядом бутылки 40 минут в расстоянии 1 мила +20 минут будет +0,5 мила=
=1,5 мила
зная такой способ решения ,я начал решит с этапа №1,(чуть больше 1 минуты),
моя училка 6-7 класс нас так заставила решат ,
доцент-ка---зааставила,кличка была лисица мне уже(еще) 54 года,а осадок не упала.
. удачи Вам.

ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. К параграфу 9. Номер №702

Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

Решение

Пусть x ( км/ч) − скорость течения реки, тогда:
12 − x ( км/ч) − скорость лодки против течения;

(ч) − затратил турист на путь вверх по реке;

(ч) − затратил турист на путь обратно.
Так как, в лодке турист плыл на 10 ч меньше, чем на плоту, составим уравнение:

Пропавшая бутылка

Однажды некто греб в лодке по реке против течения. На носу лодки стояла наполовину уже пустая бутылка отличного виски. Когда гребец проплывал под мостом, лодку слегка качнуло, и бутылка упала за борт. Не заметив пропажи, человек в лодке продолжал грести против течения, а бутылка между тем поплыла по течению. Через 20 минут человек заметил, что бутылка исчезла, повернул назад (временем, необходимым для совершения поворота, можно пренебречь) и поплыл вдогонку за бутылкой. Будучи от природы флегматичным, он продолжал грести в том же темпе, в каком греб против течения, но если его скорость относительно берегов до поворота была равна разности между скоростью лодки и скоростью течения, то теперь она стала равна сумме тех же скоростей. По прошествии некоторого времени гребец увидел бутылку и подобрал ее в одной миле от моста (ниже его по течению).
Можно ли на основе этих данных сказать, какой была скорость течения?

Ответ: И все же решение задачи существует, причем очень простое, -заявил яхтсмен, предложивший задачу. - Необходимо лишь рассматривать задачу в системе координат, движущейся вместе с водой в реке. В такой системе координат вода в реке как бы останавливается (река превращается в озеро), а берега и мост движутся относительно системы координат. Если вы плывете на гребной лодке по озеру, уронили что-нибудь в воду и подобрали пропажу через 20 минут после того, как заметили ее, то вам понадобится ровно 20 минут, чтобы вернуться в то место, откуда вы устремились вслед за пропажей. Таким образом, бутылка пробыла в воде 40 минут, а за это время мост переместился относительно воды на 1 милю. Следовательно, скорость моста относительно воды или, что то же самое, скорость течения относительно моста и берегов составляет 1 милю за 40 минут, или 1,5 мили в час. Просто, не правда ли?

Задачи на движение по воде (страница 2)

Верны те же формулы: \[<\large>\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\) .
Значит, \[<\large>\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\) .
Значит, \[<\large>\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\) . Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Теплоход с туристами плыл из города А в город В. Его скорость в неподвижной воде была 12 км/ч. В городе В он сделал остановку продолжительностью 5 часов, после чего поплыл обратно в А. Скорость течения составляла 2 км/ч. В город А теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между А и В. Ответ дайте в километрах.

Пусть \(S\) км – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда

\(\dfrac\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,

\(\dfrac\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,

плыл теплоход всего \(29 - 5 = 24\) часа, тогда:

\[\dfrac + \dfrac = 24,\] откуда находим \(S = 140\) км.

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Яхта проплыла по течению реки \(144\, км\) и вернулась обратно, после чего проплыла ещё \(36\, км\) по течению реки. Известно, что время, затраченное на движение яхты по течению, равно времени, затраченному на движение яхты против течения. При этом скорость яхты в неподвижной воде равна \(18\, км/ч\) . Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(v_>\, км/ч\) – скорость течения, \(v > 0\) , тогда

\(18 + v_>\) – скорость перемещения яхты по течению,

\(18 - v_>\) – скорость перемещения яхты против течения,

\(\dfrac>>\) – время, затраченное яхтой на перемещение по течению,

\(\dfrac>>\) – время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Так как время перемещения против течения совпадает со временем по течению, то: \[\dfrac>> = \dfrac>>\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac<180(18 - v_>) - 144(18 + v_>)><(18 + v_>)(18 - v_>)> = 0\,,\] что при \(v_>\neq \pm 18\) равносильно \(v_> = 2\) .

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Моторная лодка проплыла по течению реки \(20\, км\) , после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной \(13\, км/ч\) . Известно, что обратный путь занял \(2 ч\) . Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость течения реки равна \(v_>\) , тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_> = 20 + v_>\, км\) .

Так как обратный путь занял \(2\, ч\) , то \[20 + v_> = 2\cdot (13 - v_>)\qquad\Leftrightarrow\qquad v_> = 2\, км/ч.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Лодка участвует в соревнованиях. Ей необходимо доплыть по реке из пункта \(А\) в пункт \(Б\) и обратно. Известно, что течение реки направлено от пункта \(А\) к пункту \(Б\) . Лодка проплыла от пункта \(А\) до пункта \(Б\) за час. Сколько километров останется проплыть лодке через час после отплытия из пункта \(Б\) в пункт \(А\) , если скорость течения реки равна \(2,5\, км/ч\) ?

Пусть собственная скорость лодки равна \(v_>\, км/ч\) , а скорость течения равна \(v_>\, км/ч\) . За первый час лодка проплыла \(v_> + v_>\) , а за второй час (на обратном пути) \(v_> - v_>\) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило \[|(v_> + v_>) - (v_> - v_>)| = 2v_>\] – в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось \(2\cdot 2,5 = 5\, км\) до финиша.

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Города M и N находятся возле реки на расстоянии 60 км. Из M в N отправился катер, который прибыл в город N и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в М, плот, который отправился из M в N на час раньше катера, проплыл 13 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.

Плот проплыл 13 км за \(13 : 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 - 1 = 5,5\) часов.

Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\) , тогда

\(\dfrac\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),

\(\dfrac\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно 5,5 часов, то: \[\dfrac + \dfrac = 5,5\qquad\Leftrightarrow\qquad 11v^2 - 240v - 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\) , откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac\) . Так как \(v > 0\) , то ответ \(22\) км/ч.

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У Игоря есть своя яхта. Плавая на яхте, он понял, что обронил шляпу и стал её искать. При этом он проплыл час против течения, затем развернулся и проплыл час по течению, затем снова развернулся и проплыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению, после чего проплыл ещё четверть часа против течения. Оказалось, что он сместился от места начала поисков на \(10,5\, км\) . Найдите скорость течения, если собственная скорость яхты во время поисков оставалась постоянной. Ответ дайте в км/ч.

Пусть собственная скорость яхты равна \(v_>\, км/ч\) , а скорость течения равна \(v_>\, км/ч\) . За первый час Игорь проплыл \(v_> - v_>\) , а за второй час \(v_> + v_>\) в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило \[|(v_> - v_>) - (v_> + v_>)| = 2v_>\] – в сторону течения.

Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило \[|0,5(v_> - v_>) - 0,5(v_> + v_>)| = v_>\] – в сторону течения.

За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило \[|0,25(v_> + v_>) - 0,25(v_> - v_>)| = 0,5v_>\] – в сторону течения.

В итоге за \(3,5\, ч\) поисков Игорь переместился на \(3,5v_>\) от места начала поисков, что по условию составило \(10,5\, км\) , тогда \[3,5v_> = 10,5\qquad\Leftrightarrow\qquad v_> = 3\,.\]

Читайте также: